Question

设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）-f′（x）是奇函数，且F（1）=-11（1）求b、c、d的值

设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）-f′（x）是奇函数，且F（1）=-11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2bx+c，
∴F（x）=f（x）-f′（x）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x+d-c，
∵F（x）是奇函数，
∴b-3=0，且d-c=0，即b=3，d=c．
∴F（x）=x³+（c-2b）x．
∵F（1）=-11，
∴F（1）=1+c-2b=-11，
即c-2b=-12，∴c=2b-12=-6，
又d=c，可得d=16．
综上知，b=3，c=-6，d=-6．
（2）由（1）知f（x）=x³+3x²-6x-6．
f'（x）=3x²+6x-6，
∴F（x）=f（x）-f′（x）=x³-12x，
∴F′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
∴当x＜-2或x＞2时，F′（x）＞0，当-2＜x＜2时，F′（x）＜0，
∴F（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（2，+∞），单调递减区间是（-2，2）．
∴当x=-2时，F（x）_极大值=F（-2）=（-2）³-12×（-2）=16，
当x=2时，F（x）_极小值=F（2）=2³-12×2=-16．
∴函数单调递增，无极值．
即函数F（x）的单调区间是R，无极值．