Question

大一数学分析，高等数学，拉格朗日罗尔定理。求解答！万分感谢。题目见图

Answer 1

观察结论 就是说f`(x)-1=k(f(x)-x)有根 且[f(x)-x]的导数是f`(x)-1
令·g(x)=f(x)-x
也就是g`(x)=kg(x) 有解
所以可以令F(x)=e^(-kx)g(x) 再用roll定理就是了

追问

为什么要令F(x)＝e∧(-kx)g(x)呢？而且f(x)是在（0，1）上可导啊，不是闭区间，怎么用罗尔定理啊？能发个详细过程吗？写下来发个图就好

Answer 2

题目有错误，(0,n)里面的n是什么？

追问

就表示任意一个常数，取子区间（0，1）啊

追答

n不是任意的吧？起码0<n<1,否则，没有意义。

追问

不知道，老师抄的时候没有注明，但重点不在那儿吧

追答

f(x)在（0,1）连续，应该成错误的，应该是在[0,1]连续，否则，f(0)=f(1)=0对解题无意义。

假设要证明的关系成立，则移项得：

f'(ξ)-1=λ[f(ξ)-ξ]

这个式子是下列方程当x=ξ代入时的形式：

f'(x)-1=λ[f(x)-x]

[f(x)-x]'=f'(x)-1

代入

[f(x)-x]'=λ[f(x)-x]

两边同时除以[f(x)-x]

[f(x)-x]'/[f(x)-x]={ln[f(x)-x]}'=λ

两边同时积分：

ln[f(x)-x]=λx+C，（C是积分常数）

f(x)-x=e^(λx+C)=e^Ce^(λx)=De^(λx),(D=e^C是常数）

两边除以e^(λx)

e^(-λx)[f(x)-x]=D

e^(-λx)[f(x)-x]-D=0

设G(x)=e^(-λx)[f(x)-x]-D

G(0)=e^(-λ0)[f(0)-0]-D=1[0-0]-D=-D

G(1/2)=e^(-λ/2)[f(1/2)-1/2]-D=e^(-λ/2)[1-1/2]-D=(1/2)e^(-λ/2)-D

G(1)=e^(-λ)[f(1)-1]-D=-e^(-λ)-D

下面我们要找到另外一个点x=n，0<n<1，使得G(n)=-D,即:f(n)-n=0

即f(n)=n

这是函数y=f(x)与y=x (45°斜线）的交点。

显然n=0是一个交点，f(0)=0,

x=1/2,f(x)=1,图像上y=f(x)的这个点，位于y=x的上方，y=x对应的点是x=1/2，y=1/2.

x=1，f(x)=0,图像上y=f(x)的这个点，位于y=x的下方，y=x对应的点是x=1，y=1.

y=f(x)与y=x都是连续的，因此在x=1/2与x=1，y=f(x)从y=x的上方连续走到y=x的下方，必然会与y=x有一个交点，设这个交点的坐标是x=n，则1/2<n<1

该点：G(n)=e^(-λn)[f(n)-n]-D=-D

根据罗尔定理在,存在ξ∈(0,n)，使得G'(ξ)=0,

G(x)=e^(-λx)[f(x)-x]-D

G'(x)=-λe^(-λx)[f(x)-x]+e^(-λx)[f'(x)-1]

G'(ξ)=-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0

两边约去e^(-λξ)

-λ[f(ξ)-ξ]+[f'(ξ)-1]=0

f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1

得证