Question

设不等式组 x＞0 y＞0 y≤-nx+3n 所表示的平面区域为D n ，记D n

设不等式组 x＞0 y＞0 y≤-nx+3n 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表达式；（2）设b n =2 n f（n），S n 为{b n }的前n项和，求S n ；（3）记 T n = f(n)f(n+1) 2 n ，若对于一切正整数n，总有T n ≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

画出 x＞0 y＞0 y≤-nx+3n 的可行域 （1）f（1）=2+1=3 f（2）=3+2+1=6 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时，y=n，可取格点n个 ∴f（n）=3n （2）由题意知：b n =3n?2 n S n =3?2 1 +6?2 2 +9?2 3 +…+3（n-1）?2 n-1 +3n?2 n ∴2S n =3?2 2 +6?2 3 +…+3（n-1）?2 n +3n?2 n+1 ∴-S n =3?2 1 +3?2 2 +3?2 3 +…3?2 n -3n?2 n+1 =3（2+2 2 +…+2 n ）-3n?2 n+1 =3? 2- 2 n+1 1-2 -3n 2 n+1 =3（2 n+1 -2）-3n n+1 ∴-S n =（3-3n）2 n+1 -6 S n =6+（3n-3）2 n+1 （3） T n = f(n)f(n+1) 2 n = 3n(3n+3) 2 n ∵ T n+1 T n = (3n+3)(3n+6) 2 n+1 3n(3n+3) 2 n = n+2 2n 当n=1时， n+2 2n ＞1 当n=2时， n+2 2n =1 当n≥3时， n+2 2n ＜1 ∴T 1 ＜T 2 =T 3 ＞T 4 ＞…＞T n 故T n 的最大值是T 2 =T 3 = 27 2 ∴m≥ 27 2 ．