Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数f（x）在（1，+

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，当n∈N + 时，证明：（1+ 1 2 ）（1+ 1 2 2 +）（1+ 1 2 3 ）…（1+ 1 2 n ）＜e．其中（e≈2.718…即自然对数的底数）

Answer 1

（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分） 求导数，得 f′   (x)= 1 x -a= 1-ax x …（2分） 令 f’   (x)=0， x 1 =0， x 2 = 1 a 当 0＜x＜ 1 a 时，f′（x）＞0；当 x＞ 1 a 时，f′（x）＜0…（3分） ∴f（x）的单调增区间为 (0， 1 a ) ，f（x）的单调减区间为 ( 1 a ，+∞) ，…（4分） 因此，f（x）的极大值为 f( 1 a )=-lna-1+a ，无极小值…（5分） （2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数， ∴ f′   (x)= 1 x -a≤0 在区间（1，+∞）上恒成立．（7分） ∵x＞1，可得 0＜ 1 x ＜1 ∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分） （3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减， ∴f(x)=lnx-(x-1)＜f(1)=0 ，可得 lnx＜x-1，(x＞1) …（10分） 令x=1+ 1 2 n ，可得ln（1+ 1 2 n ）＜ 1 2 n …（11分） 分别取n=1，2，3，…，n得 ln（1+ 1 2 ）+ln（1+ 1 2 2 ）+ln（1+ 1 2 3 ）+…+ln（1+ 1 2 n ）＜ 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 +…+ 1 2 n =1- 1 2 n ＜1…（13分） 即ln[（1+ 1 2 ）（1+ 1 2 2 ）（1+ 1 2 3 ）…（1+ 1 2 n ）]＜lne 可得（1+ 1 2 ）（1+ 1 2 2 +）（1+ 1 2 3 ）…（1+ 1 2 n ）＜e，对任意的n∈N * 成立．