已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在(1,+

已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,求实数a的取值范围;(3)在(2)... 已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,当n∈N + 时,证明:(1+ 1 2 )(1+ 1 2 2 +)(1+ 1 2 3 )…(1+ 1 2 n )<e.其中(e≈2.718…即自然对数的底数) 展开
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(1)f(x)定义域为(0,+∞)…(1分)
求导数,得 f′   (x)=
1
x
-a=
1-ax
x
…(2分)
f’   (x)=0, x 1 =0, x 2 =
1
a

0<x<
1
a
时,f′(x)>0;当 x>
1
a
时,f′(x)<0…(3分)
∴f(x)的单调增区间为 (0,
1
a
)
,f(x)的单调减区间为 (
1
a
,+∞)
,…(4分)
因此,f(x)的极大值为 f(
1
a
)=-lna-1+a
,无极小值…(5分)
(2)∵函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,
f′   (x)=
1
x
-a≤0
在区间(1,+∞)上恒成立.(7分)
∵x>1,可得 0<
1
x
<1

∴a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞)…(9分)
(3)由(2)得当a=1时,f(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴f(x)=lnx-(x-1)<f(1)=0
,可得
lnx<x-1,(x>1)
…(10分)
令x=1+
1
2 n
,可得ln(1+
1
2 n
)<
1
2 n
…(11分)
分别取n=1,2,3,…,n得
ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
2 2
)+ln(1+
1
2 3
)+…+ln(1+
1
2 n
)<
1
2
+
1
2 2
+
1
2 3
+…+
1
2 n
=1-
1
2 n
<1…(13分)
即ln[(1+
1
2
)(1+
1
2 2
)(1+
1
2 3
)…(1+
1
2 n
)]<lne
可得(1+
1
2
)(1+
1
2 2
+)(1+
1
2 3
)…(1+
1
2 n
)<e,对任意的n∈N * 成立.
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