已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在(1,+
已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,求实数a的取值范围;(3)在(2)...
已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,当n∈N + 时,证明:(1+ 1 2 )(1+ 1 2 2 +)(1+ 1 2 3 )…(1+ 1 2 n )<e.其中(e≈2.718…即自然对数的底数)
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(1)f(x)定义域为(0,+∞)…(1分) 求导数,得 f′ (x)= -a= …(2分) 令 f’ (x)=0, x 1 =0, x 2 = 当 0<x< 时,f′(x)>0;当 x> 时,f′(x)<0…(3分) ∴f(x)的单调增区间为 (0, ) ,f(x)的单调减区间为 ( ,+∞) ,…(4分) 因此,f(x)的极大值为 f( )=-lna-1+a ,无极小值…(5分) (2)∵函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数, ∴ f′ (x)= -a≤0 在区间(1,+∞)上恒成立.(7分) ∵x>1,可得 0< <1 ∴a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞)…(9分) (3)由(2)得当a=1时,f(x)在(1,+∞)上单调递减, ,可得 …(10分) 令x=1+ ,可得ln(1+ )< …(11分) 分别取n=1,2,3,…,n得 ln(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )< + + +…+ =1- <1…(13分) 即ln[(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )]<lne 可得(1+ )(1+ +)(1+ )…(1+ )<e,对任意的n∈N * 成立. |
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