Question

椭圆 C ： ＝1( a ＞ b ＞0)的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 ，离心率为 ，过 F 1 且垂直于 x 轴的直

椭圆 C ： ＝1( a ＞ b ＞0)的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 ，离心率为 ，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，过点 P 作斜率为 k 的直线 l ，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点．设直线 PF 1 ， PF 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 .若 k ≠0，试证明 ＋ 为定值，并求出这个定值．

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Answer 1

（1） ＋ y 2 ＝1.（2） ＋ 为定值，这个定值为－8

(1)由于 c 2 ＝ a 2 － b 2 ，将 x ＝－ c 代入椭圆方程 ＝1，得 y ＝± . 由题意知 ＝1，即 a ＝2 b 2 . 又 e ＝ ＝ ，所以 a ＝2， b ＝1.所以椭圆 C 的方程为 ＋ y 2 ＝1. (2)设 P ( x 0 ， y 0 )( y 0 ≠0)，又 F 1 (－ ，0)， F 2 ( ，0)， 知 ， 直线 l 的方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 )．联立得 整理得(1＋4 k 2 ) x 2 ＋8( ky 0 － k 2 x 0 ) x ＋4( －2 kx 0 y 0 ＋ k 2 －1)＝0. 由题意 Δ ＝0，即(4－ ) k 2 ＋2 x 0 y 0 k ＋1－ ＝0. 又 ＋ ＝1， 所以16 k 2 ＋8 x 0 y 0 k ＋ ＝0，故 k ＝－ . 所以 ＋ ＝ ＝ · ＝－8， 因此 ＋ 为定值，这个定值为－8