Question

已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且a 2 =1，S 11 =33．（1）求{a n }的通项公式；（2）设 b n =(

已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且a 2 =1，S 11 =33．（1）求{a n }的通项公式；（2）设 b n =( 1 4 ) a n ，求证：{b n }是等比数列，并求数列{a n ?b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）由已知，且a 2 =a 1 +d=1，S 11 =11a 1 +55d=33，解得a 1 = 1 2 ，d= 1 2 ，a n = n 2 ．  （2） b n =( 1 4 ) a n =（ 1 2 ） n ， b n+1 b n = 1 2 ，数列b n }是以 1 2 为公比的等比数列． a n ?b n = n 2 ．（ 1 2 ）n=n?（ 1 2 ） n+1    T n =1× ( 1 2 ) 2 +2× ( 1 2 ) 3 +…+n?（ 1 2 ） n+1    ① 1 2   T n =+1× ( 1 2 ) 3 +2 ( 1 2 ) 4 +…+（n-1）?（ 1 2 ） n+1 +…+n?（ 1 2 ） n+2 ② ②-①得 1 2   T n = ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 3 + ( 1 2 ) 4 …+（ 1 2 ） n+1 -n?（ 1 2 ） n+2 = 1 4 [1- ( 1 2 ) n ] 1- 1 2 -n?（ 1 2 ） n+2 ∴T n =1-（ 1 2 ） n -n?（ 1 2 ） n+1 =1- 2-n 2 n+1 ．