Question

高中必修五数学，均值不等式定理麻烦帮我解释一下，为什么一个数的算数平均数大于等于他的几何平均数。顺

高中必修五数学，均值不等式定理麻烦帮我解释一下，为什么一个数的算数平均数大于等于他的几何平均数。顺便说一下几何平均数是什么意思

Answer 1

a+b-2√(ab)

=(√a)的平方+(√b)的平方-2√a·√b

=(√a-√b)的平方

≥0

∴  a+b≥2√(ab)

∴  (a+b)/2≥√(ab)

【附注】几何平均数的意义是：

一个正方形的面积等于长和宽分别为a和b的长方形的面积，

这个正方形的边长就是a和b的几何平均数。

Answer 2

x,y算术平均数：(x+y)/2 几何平均数：√(xy)
根据(x-y)²≥0得x²+y²≥2xy→(x+y)²-2xy≥2xy→(x+y)²≥4xy
不等式两边都是正数，所以同时开方：x+y≥2√(xy)，即(x+y)/2≥√(xy)