Question

计算曲面积分∫∫（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy，其中∑为上半球面z=a2?x2?y2的上侧

计算曲面积分∫∫（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy，其中∑为上半球面z=a2?x2?y2的上侧．

Answer 1

添加平面∑₁：

z＝0 x2+y2≤a2

，方向与z轴负向一致，则∑+∑₁构成封闭曲面，
这封闭曲面所围区域为Ω，
Ω={（x，y，z）|0≤z≤a，x²+y²≤a²-z²}={（θ，φ，r）|0≤θ≤2π，0≤φ≤

π

2

，0≤r≤a}．
所以：
I=

?

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy
=

?

∑+∑1

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy-

?

∑1

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy
=I₁-I₂．
对于I₁，利用高斯公式求得：
I₁=

?

∑+∑1

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy
=

?

Ω

（3x²+3y²+3z²）dxdydz
=3

∫

2π 0

dθ

∫

π 2 0

dφ

∫

a 0

r2?r2sinφdr
=

6

5

πa5．
对于I₂，利用投影法得，
I₂=

?

∑1

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy
=-

?

x2+y2≤a2

ay2dxdy
=-

∫

2π 0