Question

设实数x，y满足x+y=1，则4x+xy的取值范围是______

设实数x，y满足x+y=1，则4x+xy的取值范围是______．

Answer 1

∵x+y=1，∴y=1-x，
∴

4

x

+

x

y

=

4

x

+

x

1?x

=

4(1?x)+x2

x(1?x)

；
设t=

4(1?x)+x2

x(1?x)

，
则（t+1）x²-（t+4）x+4=0，
当t=-1时，-3x+4=0，
∴x=

4

3

，此时y=-

1

3

；
当t≠-1时，有[-（t+4）]²-4（t+1）×4≥0；
即t²-8t≥0，解得t≤0，或t≥8；
综上，知t的取值范围是t≤0，或t≥8；
∴

4

x

+

x

y

的取值范围是（-∞，0]∪[8，+∞）．
故答案为：（-∞，0]∪[8，+∞）．