Question

等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P

等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

Answer 1

解答：（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）解：①△BPE∽△CFP；
②△BPE与△PFE相似．
下面证明结论：
同（1），可证△BPE∽△CFP，得

CP

BE

=

PF

PE

，而CP=BP，因此

BP

PF

＝

BE

PE

．
又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．

③由②得△BPE∽△PFE，所以∠BEP=∠PEF．
分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM=PN．
连AP，在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8，可得AP=4．
所以PM=2

3

，所以PN=2

3

，
所以s=

1

2

PN×EF=

3

m．