Question

点P为线段AB的中点，分别过线段AB的端点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接PC、PD．（1）当直线l

点P为线段AB的中点，分别过线段AB的端点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接PC、PD．（1）当直线l过线段AB的中点P，如图1，猜想PC、PD的数量关系（直接写出你的猜想）；（2）当直线l过线段AB上的任一点，如图2，猜想PC、PD的数量关系并加以证明；（3）当直线l过线段AB的延长线上的任一点，按照题意画出图形，并判断△PCD的形状（不必证明）．

Answer 1

（1）PC=PD，理由为：
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACP=∠BDP=90°，
∵P为AB的中点，∴AP=BP，
在△ACP和△BDP中，

∠APC＝∠BPD ∠ACP＝∠BDP AP＝BP

，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴PC=PD；

（2）如图2所示，延长CP，交BD于点E，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACD=∠BDC=90°，
∴AC∥BD，
∴∠A=∠B，
又P为AB的中点，
∴AP=BP，
在△APC和△BPE中，

∠A＝∠B AP＝BP ∠APC＝∠BPE

，
∴△APC≌△BPE（ASA），
∴CP=EP，
在Rt△CDE中，DP为斜边CE上的中线，
则DP=PC=

1

2

CE；

（3）如图，△PCD为等腰三角形，理由如下：
延长DP与CA的延长线交于M点，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACD=∠BDC=90°，
∴AC∥BD，
∴∠M=∠BDP，
又P为AB的中点，
∴AP=BP，
在△APM和△BPD中，

∠MPA＝∠DPB ∠M＝∠BDP AP＝BP

，
∴△APM≌△BPD（AAS），
∴MP=DP，即P为MD的中点，
在Rt△CDM中，CP=PD=

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2

DM，
则△PCD为等腰三角形．