Question

设数列{an}是以a为首项，t为公比的等比数列，令bn=1+a1+a2+…+an，cn=2+b1+b2+…+bn，n∈N（1）试用a，t

设数列{an}是以a为首项，t为公比的等比数列，令bn=1+a1+a2+…+an，cn=2+b1+b2+…+bn，n∈N（1）试用a，t表示bn和cn（2）若a＞0，t＞0且t≠1，试比较cn与cn+1（n∈N）的大小（3）是否存在实数对（a，t），其中t≠1，使得{cn}成等比数列，若存在，求出实数对（a，t）和{cn}；若不存在说明理由．

Answer 1

（1）当t=1时，a_n=a₁=a，b_n=1+na，cn＝2+

n(2+a+na)

2

当t≠1时，a_n=at^n-1，bn＝1+

a(1?tn)

1?t

＝1+

a

1?t

?

atn

1?t

∴cn＝2+(1+

a

1?t

)n?

a

1?t

?

t(1?tn)

1?t

＝2?

at

(1?t)2

+

1?t+a

1?t

n+

atn+1

(1?t)2

（2）cn+1?cn＝bn+1＝1+

a

1?t

?

atn+1

1?t

＝1+

a

1?t

(1?tn+1)
当t＞1时，1-t＜0，1-tⁿ⁺¹＜0，而已知a＞0，∴

a

1?t

(1?tn+1)＞0∴c_n+1-c_n＞0
同理当0＜t＜1时，1-t＞0，1-tⁿ⁺¹＞0，而已知a＞0，∴

1

1?t

(1?tn+1)＞0∴c_n+1-c_n＞0
综上所述c_n+1＞c_n
（3）若cn＝2?

at

(1?t)2

+

1?t+a

1?t

n+

atn+1

1?t2

成等比数列，则令

2? at (1?t)2 ＝0，(1) 1?t+a 1?t ＝0，(2)

由（2），得a=t-1代入（1），得2+

t

1?t

＝0∴t＝2，a＝1
此时c_n=2ⁿ⁺¹=4×2^n-1
所以存在实数对（a，t）为（1，2），使得{c_n}成为以4为首项，2为公比的等比数列．