Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=6，D是⊙O上的动点（不同于A、B），过O作OC∥AD交过B点⊙O的切线于点C．（1）求

如图，AB是⊙O的直径，AB=6，D是⊙O上的动点（不同于A、B），过O作OC∥AD交过B点⊙O的切线于点C．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）设AD=x，OC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当AD=2时，求sin∠ACO的值．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OD，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠3，∠2=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠3=∠DAO，
∴∠1=∠2．
在△COD和△COB中，

OD＝OB ∠1＝∠2 OC＝OC

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC=∠OBC．
∵CB切⊙O于B，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，OD⊥CD
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接DB，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠COB=∠BAD，
∴△ABD∽△OCB，
∴

AD

AB

=

OB

OC

，
∴

x

6

=

3

y

，
∴y=

18

x

．

（3）解：作OH⊥AC于H，
由（2）得，OC=18÷2=9，
在△OCB中，
∵∠OBC=90°，
∴BC=

OC2?OB2

=

92?32

=6

2

．
在△ABC中，
∵∠ABC=90°，
∴AC=

AB2?BC2

=

62+72

=6

3

．
由△AOH∽△ACB，得

OH

CB

=

AO

AC

，
即

OH

6 2

=

3

6 3

，
解得：OH=

6

，
则sin∠ACO=

OH

OC

=

6

9

．