Question

△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB= 3 4 ．（1）求co

△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB= 3 4 ．（1）求cotA+cotC的值；（2）若 BA ? BC = 3 2 ，求a+c的值．

Answer 1

（1）∵cosB= 3 4 ∴sinB= 1- cos 2 B = 1- 9 16 = 7 4 ∵a、b、c成等比数列 ∴b 2 =ac ∴依据正弦定理得：sin 2 B=sinAsinC ∴cotA+cotC = cosA sinA + cosC sinC = sinCcosA+cosCsinA sinAsinC = sin(A+C) sin 2 B = sinB sin 2 B = 1 sinB = 4 7 7 ． （2）∵ BA ? BC = 3 2 ， ∴ac?cosB= 3 2 ， ∵cosB= 3 4 ， ∴ac=2，即：b 2 =2． ∵b 2 =a 2 +c 2 -2ac?cosB ∴a 2 +c 2 =b 2 +2ac?cosB=5 ∴（a+c） 2 =a 2 +c 2 +2ac=5+4=9 故：a+c=3．