Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：∠BCD=2∠ABD；（3）求证：E是△BCD的内心；（4）若∠BCD=60°，求 EF CE 的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD， 在△OCD和△OCB中， CD=CB OC=OC OD=OB ， ∴△OCD≌△OBC（SSS）， ∴∠ODC=∠OBC， ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC， 即∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°， 即OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）证明：∵CD与BC都是⊙O的切线， ∴OC⊥BD，OB⊥BC，∠OCD=∠OCB= 1 2 ∠BCD， ∴∠OCB+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°， ∴∠OCB=∠ABD， ∴∠BCD=2∠ABD； （3）证明：∵OC⊥BD， ∴ DE = BE ， ∴∠DBE= 1 2 ∠BOE， ∵∠BOE+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°， ∴∠CBD=∠BOE， ∴∠DBE= 1 2 ∠CBD， ∵∠OCD=∠OCB，且点E在OC上， ∴点E是△BCD的角平分线的交点， 即点E到△BCD的三边的距离相等； ∴E是△BCD的内心； （4）∵∠BCD=60°，CD=CB， ∴△BCD是等边三角形， ∵点E是△BCD的角平分线的交点， ∴点E是△BCD的中线的交点， ∴ EF CE = 1 2 ．