Question

已知函数 f(x)= x+1 2-x ，x∈[3，5] ．（1）判断函数f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；（2）

已知函数 f(x)= x+1 2-x ，x∈[3，5] ．（1）判断函数f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；（2）求函数 f(x)= x+1 2-x ，x∈[3，5] 的最大值和最小值．

Answer 1

（1）f（x）在[3，5]上是单调增函数 证明：设x 1 ，x 2 是区间[3，5]上的两个任意实数且x 1 ＜x 2 （2分） f( x 1 )-f( x 2 )= x 1 +1 2- x 1 - x 2 +1 2- x 2 = 3( x 1 - x 2 ) (2- x 1 )(2- x 2 ) （5分） ∵3≤x 1 ＜x 2 ≤5 ∴x 1 -x 2 ＜02-x 1 ＞02-x 2 ＞0， ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ）， ∴f（x）在[3，5]上是单调增函数（8分） （2）∵f（x）在[3，5]上是单调增函数，所以x=3时，f（x）取最小值-4（10分） x=5时f（x）取最大值-2（12分）