Question

2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，

2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA、PB送到矩形灾民区AB-CD中去，已知PA=100 km．PB=150 km．BC=60 km，∠APB=60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．

Answer 1

解：矩形灾民区ABCD 中的点可分为三类， 第一类沿道路PA 送药较近， 第二类沿道路PB 送药较近， 第三类沿道路PA 和PB 送药一样远近． 依题意，界线是第三类点的轨迹． 设M为界线上的任一点，则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50（定值）．   ∴界线是以A、B为焦点的双曲线的右支的一部分．     如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 设所求双曲线方程的标准形式为 (a>0，b>0)， ∵ a= 25,2c=|AB| ,b 2 =c 2 -a 2 =3750, 故双曲线的标准方程为 注意到点C的坐标为 ，故y的最大值为60， 此时x=35，故界线的曲线方程为 (25≤x≤35,y>0)．