Question

如图所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45m的1/4圆弧面．A和D分别是圆

如图所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45m的1/4圆弧面．A和D分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑块P 1 和P 2 的质量均为m．滑板的质量M=4m，P 1 和P 2 与BC面的动摩擦因数分别为μ 1 =0.10和μ 2 =0.40，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．开始时滑板紧靠槽的左端，P 2 静止在粗糙面的B点，P 1 以v 0 =4.0m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P 2 发生弹性碰撞后，P 1 处在粗糙面B点上．当P 2 滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P 2 继续运动，到达D点时速度为零．P 1 与P 2 视为质点，取g=10m/s 2 ．问：（1）P 2 在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？（2）BC长度为多少？N、P 1 和P 2 最终静止后，P 1 与P 2 间的距离为多少？

Answer 1

（1）P 1 滑到最低点速度为v 1 ，由机械能守恒定律有： 1 2 m v 20 +mgR= 1 2 m v 21 解得：v 1 =5m/s P 1 、P 2 碰撞，满足动量守恒，机械能守恒定律，设碰后速度分别为v′ 1 、v′ 2 则由动量守恒和机械能守恒可得： mv 1 =mv′ 1 +mv′ 2 1 2 m v 21 = 1 2 mv ′ 21 + 1 2 mv ′ 22 解得：v′ 1 =0、v′ 2 =5m/s P 2 向右滑动时，假设P 1 保持不动，对P 2 有：f 2 =μ 2 mg=4m（向左） 对P 1 、M有：f=（m+M）a 2 a 2 = f m+M = 4m 5m =0.8m/ s 2 此时对P 1 有：f 1 =ma=0.80m＜f m =1.0m，所以假设成立． 故滑块的加速度为0.8m/s 2 ； （2）P 2 滑到C点速度为v 2 ′，由 mgR= 1 2 mv ′ 22 得v′ 2 =3m/s P 1 、P 2 碰撞到P 2 滑到C点时，设P 1 、M速度为v，对动量守恒定律：mv 2 =（m+M）v+mv′ 2 解得：v=0.40m/s 对P 1 、P 2 、M为系统： f 2 L= 1 2 m v 22 - 1 2 m v ′ 2 2 + 1 2 (m+M) v 2 代入数值得：L=1.9m 滑板碰后，P 1 向右滑行距离： S 1 = v 2 2 a 1 =0.08m P 2 向左滑行距离： S 2 = v ′ 22 2 a 2 =1.125m 所以P 1 、P 2 静止后距离：△S=L-S 1 -S 2 =0.695m 故最后两物体相距0.695m．