Question

已知函数f（x）=ex-2x（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求

已知函数f（x）=ex-2x（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x∈[12，2]，使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=e^x-2x，
∴f（0）=1，f′（x）=e^x-2，
∴f′（0）=-1，
∴曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，解得x=ln2，
当x∈（-∞，ln2）时，f′（x）＜0，
当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调减区间是（-∞，ln2），单调增区间是（ln2，+∞）．
（Ⅲ）由题意知?x∈[

1

2

，2]，使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

，2]，使m＞

ex?2x

x

成立，
∴m＞（

ex?2x

x

）_min，
令g(x)＝

ex

x

?2，则g′（x）=

(x?1)ex

x2

，
∴g（x）在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=e-2，
∴m∈（e-2，+∞）．