Question

在如图甲所示的平面坐标系内，有三个不同的静电场：第一象限内有电荷量为Q的点电荷在O点产生的电场E1，第

在如图甲所示的平面坐标系内，有三个不同的静电场：第一象限内有电荷量为Q的点电荷在O点产生的电场E1，第二象限内有水平向右的匀强电场E2，第四象限内有方向水平、大小按图乙变化的电场E3，E3以水平向右为正方向，变化周期T=4mx30kQq．一质量为m，电荷量为+q的离子从（-x0，x0）点由静止释放，进入第一象限后恰能绕O点做圆周运动．以离子经过x轴时为计时起点，已知静电力常量为k，不计离子重力．求：（1）离子刚进入第四象限时的速度；（2）E2的大小；（3）当t=T2时，离子的速度；（4）当t=nT时，离子的坐标．

Answer 1

（1）设刚进入第四象限的速度为v₀．在第一象限内，有库仑力提供离子圆周运动的向心力有：
k

Qq

x 2 0

＝

m v 2 0

x0

得：v0＝

kQq mx0

（2）在第二象限内，只有电场力对离子做功，由动能定理得：
qE2x0＝

1

2

m

v

2 0

解得：E2＝

kQ

2 x 2 0

（3）离子进入第四象限后，在水平方向上，有：
v水平＝at＝

qE3

m

×

T

2

得：v水平＝

q kQ x 2 0

m

×

4m x 3 0 kQq

2

=

kQq mx0

＝v0
所以此时离子的合速度：
v合＝

2

v0＝

2kQq mx0

方向与水平方向成45⁰角斜向下
（4）由（3）分析知离子在第四象限中运动时，y方向上做匀速直线运动，x方向上前半个周期向右匀加速运动，后半个周期向右匀减速运动直到速度为0；每个周期向右运动的平均速度为

.

v

＝

v0

2

，每个周期前进x＝

v0

2

T＝

kQq mx0

2

?

4m x 3 0 kQq

＝x0，
因为开始计时时离子坐标为x₀所以nT时，离子的横坐标为x=x₀+nx₀=（n+1）x₀
纵坐标：y=-v₀nT=-2nx₀
故，在nT时离子的坐标为：[（n+1）x₀，-2nx₀]
答：（1）离子刚进入第四象限时的速度为

kQq mx0

；
（2）E₂的大小为

kQ

2 x 2 0

；
（3）当t=

T

2

时，离子的速度为

2kQq mx0

；
（4）当t=nT时，离子的坐标为：[（n+1）x₀，-2nx₀]．