Question

（2011?重庆二模）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F(?23，0)，上下顶点分别为A，B，已知

（2011?重庆二模）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F(?23，0)，上下顶点分别为A，B，已知△AFB是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l交椭圆C于M、N两点，求证：|MN|=84?3cos2α．

Answer 1

解答：（I）解：由题意，c＝2

3

，

3

b＝c，∴b=2
∴a＝

b2+c2

=4
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

14

＝1；
（Ⅱ）证明：当α≠

π

2

时，设k=tanα，l：y＝k(x+2

3

)
代入

x2

16

+

y2

14

＝1，可得（1+4k²）x²+16

3

k2x+48k²-16=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

16 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

48k2?16

1+4k2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2?4x1x2

=

8 1+k2

1+4k2

∴|MN|=

1+k2

|x1?x2|=

8(1+k2)

1+4k2

=

8(1+tan2α)

1+4tan2α

=

8

4?3cos2α

当α＝

π

2

时，|MN|=2，

8

4?3cos2α

=2，∴|MN|=

8

4?3cos2α

．