Question

已知数列满足a1=1,2a(n+1)an+a(n+1)-an=0,(1)求证：{1/an}是等差数列.(2)若a1a2+a2a3+…+ana(n+1)>16/33

求n的取值范围

Answer 1

（1）
2a(n+1)an+a(n+1)-an=0
两边同时除以a(n+1)an
2+1/an-1/a(n+1)=0
即1/a(n+1)-1/an=2
所以数列{1/an}为等差数列，公差d=2
首项1/a1=1
∴1/an=1/a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
∴an=1/(2n-1)
(2)
an*a(n+1)=1/2[an-a(n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
∴a1a2+a2a3+…+ana(n+1)
=1/2{(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+...+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]}
=1/2[1-1/(2n+1)]
∵a1a2+a2a3+…+ana(n+1)>16/33
∴1/2[1-1/(2n+1)]>16/33
∴1-1/(2n+1)>32/33
∴1/(2n+1)<1/33
∴2n+1>33
n>16

Answer 2

(1)an-a(n+1)=2a(n+1)an
1/a(n+1)-1/an=2
{1/an}是以1为首项，以2为公差的等差数列

（2）由{1/an}是以1为首项，以2为公差的等差数列可知
1/an=2n-1
an=1/(2n-1)
ana(n+1)=1/[(2n-1)1/(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
a1a2+a2a3+…+ana(n+1)=1/2[1-1/3+1/3-1/5+....+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]
=n/2n+1
n/2n+1>16/33

n>16