Question

已知函数f(x)＝－x 2 ＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；(2)确

已知函数f(x)＝－x 2 ＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

Answer 1

（1）m≥2e （2）(－e 2 ＋2e＋1，＋∞)

解：(1)∵g(x)＝x＋ ≥2 ＝2e等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，g(x)＝m就有实数根． (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)与f(x)的大致图象． ∵f(x)＝－x 2 ＋2ex＋m－1＝－(x－e) 2 ＋m－1＋e 2 ， ∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e 2 ． 故当m－1＋e 2 >2e，即m>－e 2 ＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． ∴m的取值范围是(－e 2 ＋2e＋1，＋∞)．