Question

设x=3是函数f（x）=（x 2 +ax+b）e 3-x （x∈R）的一个极值点，（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f

设x=3是函数f（x）=（x 2 +ax+b）e 3-x （x∈R）的一个极值点，（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g（x）=（a 2 + ）e x ，若存在ξ 1 ，ξ 2 ∈[0，4]使得|f（ξ 1 ）-f（ξ 2 ）＜1|成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′(x)=-[x 2 +(a-2)x+b-a]e 3-x ， 由f′(3)=0，得-[3 2 +(a-2)3+b-a]e 3-3 =0，即得b=-3-2a， 则f′(x)=[x 2 +(a-2)x-3-2a-a]e 3-x =-[x 2 +(a-2)x-3-3a]e 3-x =-(x-3)(x+a+1)e 3-x ， 令f′(x)=0，得x 1 =3或x 2 =-a-1， 由于x=3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠-4， 当a＜-4时，x 2 ＞3=x 1 ， 则在区间（-∞，3）上，f′(x)＜0，f(x)为减函数； 在区间（3，-a-1）上，f′(x)＞0，f(x)为增函数； 在区间（-a-1，+∞）上，f′(x)＜0，f(x)为减函数； 当a＞-4时，x 2 ＜3=x 1 ，则在区间（-∞，-a-1）上，f′(x)＜0，f(x)为减函数； 在区间（-a-1，3）上，f′(x)＞0，f(x)为增函数； 在区间（3，+∞）上，f′(x)＜0，f(x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减， 那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]， 而f(0)=-（2a+3）e 3 ＜0，f(4)=（2a+13）e -1 ＞0，f (3)=a+6， 那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e 3 ，a+6]， 又 在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2 + ，（a 2 + ）e 4 ]， 由于（a 2 + ）-（a+6）=a 2 -a+ =（ ） 2 ≥0， 所以只须仅须（a 2 + ）-（a+6）＜1且a＞0，解得0＜a＜ ， 故a的取值范围是（0， ）。