Question

已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且limx→0，y→0f(x，y)-xy(x2+y2)2=1，则（　　）A．

已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且limx→0，y→0f(x，y)-xy(x2+y2)2=1，则（　　）A．点（0，0）不是f（x，y）的极值点B．点（0，0）是f（x，y）的极大值点C．点（0，0）是f（x，y）的极小值点D．根据所给条件无法判断点（0，0）是否为f（x，y）的极值点

Answer 1

由

lim

x→0，y→0

f(x，y)-xy

(x2+y2)2

=1知，
因此分母的极限趋于0，故分子的极限必为零，
从而有f（0，0）=0；
因为极限等于1；故f（x，y）-xy～（x²+y²）²（|x|，|y|充分小时），
于是f（x，y）～xy+（x²+y²）²．
因为：f（0，0）=0；
所以：f（x，y）-f（0，0）～xy+（x²+y²）²．
可见当y=x且|x|充分小时，
f（x，y）-f（0，0）≈x²+4x⁴＞0；
而当y=-x且|x|充分小时，f（x，y）-f（0，0）≈-x²+4x⁴＜0．
故点（0，0）不是f（x，y）的极值点．
故选：A．

Answer 2

简单分析一下即可，答案如图所示

Answer 3

当x→0时，3x-1→0，故原极限形式为：
0
0
型，
当x→0时，3x-1～ln3
x，ln（1+x）～x，sinx～x，
利用上述等价无穷小代换，计算可得：
lim
x→0
ln(1+
f(x)
sin2x
)
3x?1
=
lim
x→0
f(x)
2x
ln3 x
=
1
2ln3
lim
x→0
f(x)
x2
．
所以：
1
2ln3
lim
x→0
f(x)
x2
=5，
故：
lim
x→0
f(x)
x2
=10ln3，
故答案为：10ln3．