Question

设（5x-x）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M-N=240，求展开式中x3项的系数

设（5x-x）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M-N=240，求展开式中x3项的系数．

Answer 1

由题意可得N=2ⁿ，令x=1，则M=（5-1）ⁿ=4ⁿ=（2ⁿ）²．
∴（2ⁿ）²-2ⁿ=240，2ⁿ=16，n=4．
（5x-

x

）ⁿ=（5x-

x

）⁴的展开式中第r+1项T_r+1=C

r 4

?（5x）^4-r?（-

x

）^r
=（-1）^r?C

r 4

?5^4-r?x4?

r

2

．
令4-

r

2

=3，即r=2，可得展开式中x³项的系数为 C

2 4

?5²?（-1）²=150．