Question

探究并证明以下问题：（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，点BO为线段上任意一点

探究并证明以下问题：（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，点BO为线段上任意一点，以AP为边作等边三角形APF．连结BF，求证：BF=OP．（2）如图2，在正方形ABCD中，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连结BF，直接写出BF与CP的数量关系______．（3）如图3，在菱形ABCD中，AB：AC=m：n，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足∠ABC=∠AFP，连结BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵四蠢段伏边形ABCD为矩形，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO，∠PAO=60°-∠BAP，
在△FAB和△PAO中，

AB＝AO ∠FAB＝∠OAP AF＝AP

，
∴△FAB≌△PAO（SAS）燃扰，
∴BF=OP；

（2）连接AC、AF、PF、BQ，过P作PQ⊥AC于Q，
∵四边形ABCD是正方形，F为正方形APMN的中心，
∴∠ACB=∠APF=45°，∠AFP=∠ABC=90°，
∴A、F、B、P四点共圆，
∴∠ABF=∠ABF=45°，∠BFP=∠BAP，
同理∠ABP=∠AQP=90°，
∴∠ABP+∠AQP=180°，
∴∠BAP=∠BQP，
∴∠BFP=∠PQB，
∵PQ⊥AC，
∴∠QPC=∠ACB=45°，
∴∠FBP=∠QPB=90°+45°=135°，
在△FBP和△QPB中，

∠BFP＝∠PQB ∠FBP＝∠QPB BP＝带携BP

，
∴△FBP≌△QPB（AAS），
∴BF=PQ，
∵∠PQC=90°，∠ACB=∠QPC=45°，
∴PQ=

2

2

CP，
∴BF=

2

2

CP，
故答案为：BF=

2

2

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