Question

如图，在半径为6的⊙O中，弦AB的长为63，（1）弦AB所对的圆周角．（2）若⊙O有一条长为62的弦CD在圆周上

如图，在半径为6的⊙O中，弦AB的长为63，（1）弦AB所对的圆周角．（2）若⊙O有一条长为62的弦CD在圆周上运动，当点C与B重合时，求∠ABD的度数；当点C是AB的中点时，设CD与AB交于点P，求OP的长．

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

Answer 1

（1）解：
过O作ON⊥AB于N，连接OA、OB，
由垂径定理得：AN=BN=

1

2

AB=3

3

，
∵在Rt△ONB中，cos∠OBN=

BN

OB

=

3

2

，
∴∠OBN=30°，∠BON=90°-30°=60°，
∵OA=OB，ON⊥AB，
∴∠AOB=2∠BON=120°，
由圆周角定理得：①∠AEB=

1

2

∠AOB=60°，
②∠AFB=180°-60°=120°，
答：弦AB所对的圆周角是60°或120°．

（2）解：分为两种情况：
过O作OP⊥CD于P，
由垂径定理得：BP=DP=3

2

，
∵在Rt△BPO中，cos∠PBO=

BP

OB

=

2

2

，
∴∠PBO=45°，
由（1）知：∠OBN=30°，
∴∠ABD=45°+30°=75°；
当D在D′时，∠ABD=45°-30°=15°；
即∠ABD的度数是15°或75°．
连接OC，OD，OP，
∵C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵AB=6

3

，半径为6，
∴BE=AE=3

3

，
由勾股定理得：O