请阅读下列材料:问题:如图1,圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径,圆柱高AB为5dm,求一只蚂蚁从点A出发
请阅读下列材料:问题:如图1,圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径,圆柱高AB为5dm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线:路线1:...
请阅读下列材料:问题:如图1,圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径,圆柱高AB为5dm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线:路线1:高线AB+底面直径BC,如图1所示.路线2:侧面展开图中的线段AC,如图2所示.(结果保留π)(1)设路线1的长度为L1,则L12=______.设路线2的长度为L2,则L22=______.所以选择路线______(填1或2)较短.(2)小明把条件改成:“圆柱的底面半径为5dm,高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算.此时,路线1:L12=______.路线2:L22=______.所以选择路线______(填1或2)较短.(3)请你帮小明继续研究:当圆柱的底面半径为2dm,高为hdm时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短.
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(1)∵l12=72=49,
L22=AC2=AB2+BC2=52+π2=25+π2,
49>25+π2,
所以选择路线2较短;
(2)∵L12=(AB+BC)2=(1+10)2=121,
L22=1+25π2
∵l12-l22>0,
∴l12>l22,∴l1>l2,所以要选择路线1较短.
(3)当圆柱的底面半径为2dm,高为hdm时,
l22=AC2=AB2+
2=h2+4π2,
l12=(AB+BC)2=(h+4)2,
l12-l22=(h+4)2-h2+(2π)2=4π2-8h-16=4[(π2-4)-2h];
当(π2-4)-2h=0时,即h=
时,l12=l22;
当h>
时,l12<l22;
当h<
时,l12>l22.
故答案为:49,25+π2,2;121,1+25π2,1.
L22=AC2=AB2+BC2=52+π2=25+π2,
49>25+π2,
所以选择路线2较短;
(2)∵L12=(AB+BC)2=(1+10)2=121,
L22=1+25π2
∵l12-l22>0,
∴l12>l22,∴l1>l2,所以要选择路线1较短.
(3)当圆柱的底面半径为2dm,高为hdm时,
l22=AC2=AB2+
BC |
l12=(AB+BC)2=(h+4)2,
l12-l22=(h+4)2-h2+(2π)2=4π2-8h-16=4[(π2-4)-2h];
当(π2-4)-2h=0时,即h=
π2?4 |
2 |
当h>
π2?4 |
2 |
当h<
π2?4 |
2 |
故答案为:49,25+π2,2;121,1+25π2,1.
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