Question

真空中有一半径为R的半圆形磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B，Ox为磁场边界上O点的切线

真空中有一半径为R的半圆形磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B，Ox为磁场边界上O点的切线，如图所示．现从O点在纸面内磁场中以各个方向入射速度为BeRm的电子，经磁场偏转后，打在垂直于Ox搭设的光屏MN上被光屏吸收，光屏与OA的间距为2R，设电子间的相互作用可以忽略，重力忽略不计，则：（1）求打在MN屏上的电子区域的高度h；（2）求速度方向与Ox方向夹角为60°的电子运动的时间；（3）若撤去光屏，添加一个垂直于纸面的圆形匀强磁场区域，磁感应强度也为B，并使得所有射出磁场的粒子全部打在Ox直线上距离O点2R的N点，则该匀强磁场的具体方向，以及该磁场区域的最小面积为多少？

Answer 1

（1）子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
qvB=m

v2

r

其中：
v=

BeR

m

联立解得：
r=

mv

qB

=R
磁场圆心、轨迹圆的圆心、轨迹圆与磁场边界的两个交点构成一个边长为R的菱形，故所有的粒子离开磁场后的速度方向均沿着+x方向；故竖直向上的粒子恰好打到屏幕上最高点，高度为h为R；
（2）速度方向与Ox方向夹角为60°的电子运动轨迹如图所示：
轨迹圆弧的圆心角为60°，故磁场中的运动时间为：
t₁=

60°

360°

T=

1

6

×

2πm

eB

=

πm

3eB

；
匀速直线运动的位移为：
x=2R-Rsin60°=2R-

3

2

R；
故匀速直线运动的时间为：
t₂=

x

v

=

(2? 3 2 )R

BeR m

=（2-

3

2

）

m

eB

；
故该电子运动的时间：
t=t₁+t₂=

πm

3eB

+（2-

3

2

）

m

eB

=（

π

3

+2?

3

2

）

m

eB

（3）要使所有的粒子都打在在Ox直线上距离O点2R的N点，是从O点射出的逆过程，即轨迹圆的圆心、圆形磁场的圆心，轨迹圆和磁场边界的两个交点同样构成菱形，故其面积为πR²，方向垂直向内；
答：（1）打在MN屏上的电子区域的高度h为R；
（2）速度方向与Ox方向夹角为60°的电子运动的时间为（

π

3

+2?

3

2

）

m

eB

；
（3）匀强磁场应该垂直向内，该磁场区域的最小面积为πR²．