Question

若{an}是公差d≠0等差数列，{bn}是公比q≠1等比数列，已知a1=b1=1，且a2=b2，a6=b3．（1）求数列{an}和{b

若{an}是公差d≠0等差数列，{bn}是公比q≠1等比数列，已知a1=b1=1，且a2=b2，a6=b3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{1an?an+1}的前n项和Sn；（3）是否存在常数a，b使得对一切n∈N*都有an=logabn+b成立？若存在．求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题得

1+d＝q 1+5d＝q2

?

d＝3 q＝4

，
∴a_n=3n-2，b_n=4^n-1；
（2）∵

1

anan+1

=

1

(3n?2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n?2

-

1

3n+1

），
∴S_n=

1

3

[（

1

1

-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n?2

-

1

3n+1

）]
=

n

3n+1

；
（3）假设存在常数a，b满足题意，把a_n=3n-2，b_n=4^n-1代入a_n=log_ab_n+b，
得：3n-2=loga4n?1+b，
即（3-log_a4）n+（log_a4-b-2）=0对一切n∈N^*都成立，
∴

3?loga4＝0 loga4?b?2＝0

，
解得：

a＝ 3 4 b＝1

．
即存在常数a=

3	4

，b=1满足题设．