设二次函数f(x)在[-1,4]上的最大值为12,且关于x的不等式f(x)<0的解集为(0,5). (1)求f(x)
设二次函数f(x)在[-1,4]上的最大值为12,且关于x的不等式f(x)<0的解集为(0,5).(1)求f(x)的解析式;(2)若对任意的实数x都有f(2-2cosx)...
设二次函数f(x)在[-1,4]上的最大值为12,且关于x的不等式f(x)<0的解集为(0,5). (1)求f(x)的解析式;(2)若对任意的实数x都有f(2-2cosx)<f(1-cosx-m)恒成立,求实数m的取值范围.
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(1)由题意设二次函数的解析式为f(x)=ax(x-5),且a>0,
再根据在区间[-1,4]上的最大值为f(-1)=6a=12,求得 a=2,
可得f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.
(2)因为f(x)的对称轴为x=
且其图象开口向上
所以f(2-2cosx)<f(1-cosx-m) 等价于
|2-2cosx-
|<|1-cosx-m-
|即|2cosx+
|<|cosx+m+
|
令t=cosx+
∈[
,
]即|2t-
|<|t+m|m+t>2t?
,m+t<?2t+
∴实数m的取值范围为{m|m>1或m<-5}
再根据在区间[-1,4]上的最大值为f(-1)=6a=12,求得 a=2,
可得f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.
(2)因为f(x)的对称轴为x=
5 |
2 |
所以f(2-2cosx)<f(1-cosx-m) 等价于
|2-2cosx-
5 |
2 |
5 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
令t=cosx+
3 |
2 |
1 |
2 |
5 |
2 |
5 |
2 |
5 |
2 |
5 |
2 |
∴实数m的取值范围为{m|m>1或m<-5}
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