Question

如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,AD垂直BC,垂足是D，AE平分角BAD,交BC于点E，在三角形外有一点F，使FA

垂直AE，FC垂直BC
（1）求证BE=CF
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE,连接MC，交AD于点N，连接ME
求证：1.DE=DN
2.ME垂直BC

Answer 1

（1）如图，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.
∴△ABF≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.
（2）①如图，过E点作EG⊥AB于点G，
∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG，∠3=45°.
∵BM=2DE，∴BM=2BG，即点G是BM的中点.∴EG是BM的垂直平分线.∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC，∴ME∥AD.∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5，∴∠1=∠6.∴AM=EM.
∵MC=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°，，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°.
∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA）.∴DE=DN.

Answer 2

永远别让你的思想平凡了，告诉自己你这辈子不平凡。
在所有的过错中，我们最易于原谅的就是懒散。