Question

如图，Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢交斜边于点E，CC ¢的

如图，Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢交斜边于点E，CC ¢的延长线交BB ¢于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC= ，∠CAC ¢ = ，试探索 、 满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

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Answer 1

（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC="AC" ¢，AB="AB" ¢，∠CAB="∠C" ¢AB ¢    ∴∠CAC ¢="∠BAB" ¢ ∴∠ACC ¢="∠ABB" ¢   又∠AEC=∠FEB ∴△ACE∽△FBE      （2）解：当 时，△ACE≌△FBE．    在△ACC¢中，∵AC="AC" ¢， ∴    在Rt△ABC中， ∠ACC¢+∠BCE=90°，即 ， ∴∠BCE= ． ∵∠ABC= ， ∴∠ABC=∠BCE     ∴CE=BE 由（1）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．

（1）欲证△ACE∽△FBE，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEC=∠FEB，此时，再证∠ACC′=∠ABB′即可． （2）欲证△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需证明CE=BE，由已知可证∠ABC=∠BCE=α，即证β=2α时，△ACE≌△FBE．