Question

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线 x 2 a -

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线 x 2 a - y 2 =1 的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（　　） A． 1 9 B． 1 3 C．3 D．9

Answer 1

∵抛物线y 2 =2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5， ∴抛物线y 2 =2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5， 根据抛物线的焦半径公式得1+ p 2 =5，p=8． ∴抛物线y 2 =16x， ∴M（1，±4）， ∵m＞0， ∴取M（1，4）， ∵双曲线 x 2 a - y 2 =1 的左顶点为A（- a ，0）， ∴AM的斜率为 4 1+ a ， 双曲线 x 2 a - y 2 =1 的渐近线方程是 y=± 1 a x ， 由已知得 1 a = 4 1+ a ， 解得a= 1 9 ． 故选A．