Question

已知f（x）=2x?12x+1，（1）求函数f（x）的定义域、值域．（2）讨论f（x）的单调性

已知f（x）=2x?12x+1，（1）求函数f（x）的定义域、值域．（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（1）∵?x∈R，都有2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
故函数f（x）=

2x?1

2x+1

的定义域为实数集R．
∵f（x）=

2x?1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
而2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．
（3）?x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵2＞1，∴2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，2^x₁-2^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在实数集R上单调递增．