Question

已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4

已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 1 0 1 4 9 …（1）当x=-1时，y的值为______；（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系是______；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式：______；（4）设点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，问：当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长吗？为什么？

Answer 1

（1）根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∴x=-1与x=5时的函数值相等，
∵x=5时，y=9，
∴x=-1时，y=9；

（2）∵当1＜x₁＜2时，函数值y₁小于1；当3＜x₂＜4时，函数值y₂大于1，
∴y₁＜y₂；

（3）∵二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（2，0），
∴可设此二次函数的顶点式为y=a（x-2）²，
将点（0，4）代入，得a（0-2）²=4，
解得a=1，
∴y=（x-2）²，
∴将y=（x-2）²的图象沿x轴向右平移3个单位，所对应的函数关系式为y=（x-2-3）²，
即y=（x-5）²或y=x²-10x+25；

（4）当m＜-3时，y₁、y₂、y₃的值一定能作为同一个三角形三边的长．理由如下：
∵y=（x-2）²，
∴y₁=（m-2）²，y₂=（m-1）²，y₃=m²，
∵m＜-3，
∴y₁＞y₂＞y₃＞0，m+3＜0，m-1＜-4＜0，
∵y₂+y₃-y₁=（m-1）²+m²-（m-2）²=m²+2m-3=（m+3）（m-1），
∴y₂+y₃-y₁＞0，
∴y₂+y₃＞y₁，
∴当m＜-3时，y₁、y₂、y₃的值一定能作为同一个三角形三边的长．
故答案为9；y₁＜y₂；y=（x-5）²或y=x²-10x+25．