Question

（2014?路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，

（2014?路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：①∠ABC=30°；②弧AC的长与弧OC的长相等； ③弦BC的长为43；④阴影部分的面积是8π3，其中正确的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，
∵OD⊥BC，
∴BE=CE，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED=EO，
∴OE=

1

2

OB，
∴∠OBC=30°，即∠ABC=30°，所以①正确；
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴弧OC的长=

60?π?4

180

=

4

3

π，
∵∠AOC=60°，
∴弧AC的长=

60?π?4

180

=

4

3

π，
∴弧AC的长与弧OC的长相等，所以②正确；
在Rt△OBC中，OE=2，∠OBE=30°，
∴BE=

3

OE=2

3

，
∴BC=2BE=4

3

，所以③正确；
∵OC=OB，
∴弓形OC的面积=弓形OB的面积，
∴S_阴影部分=S_扇形OAC=

60?π?42

360

=

8

3

π，所以④正确．
故选D．