Question

设x∈[3/8,4/9],求函数f(x)=x+根号(1-2x)的值域

设x∈[3/8,4/9],求函数f(x)=x+根号(1-2x)的值域

Answer 1

设√(1-2x)=t,x=(1-t^2)/2.
因为x∈[3/8,4/9],所以t∈[1/3,1/2].
所以y=(1-t^2)/2+t=-1/2(t-1)^2+1,
[1/3,1/2]是该函数的递增区间，
∴t=1/3时，函数取到最小值7/9.
t=1/2时，函数取到最大值7/8.
函数值域为[7/9,7/8].

Answer 2

令t=√（1-2x）
两边同时平方，则：t＾2=1-2x
∴x=（1-t＾2）/2
∵x∈[3/8,4/9]
∴t＾2∈[1/9,1/4]
又∵t=√（1-2x）
∴t≥0
∴t∈[1/3,1/2].
将x=（1-t＾2）/2代入函数得f(x)=（1-t＾2）/2+t
即f(x)=-t＾2/2+t+1/2，是一个二次函数
画出此函数图象，可得：当t=1/3时，f(x)min=7/9.
当t=1/2时，f(x)max=7/8.
（此函数图像可通过配方画出：f(x)=-1/2[t+（1/2）]＾2+3/8
∴函数f(x)=x+√(1-2x)的值域为[7/9,7/8].

Answer 3

3/8<=x<=4/9
-3/4>=-2x>=-8/9
1-3/4>=1-2x>=1-8/9
1/4>=1-2x>=1/9
1/2>=根号（1-2x）>=1/3 1/2+3/8=7/8 1/3+4/9=7/9
则值域为【7/8,7/9】