Question

高数问题 求解答 这个题目的A选项是错误的，为什么？详解一定采纳！

Answer 1

f(x,y)在(x0,y0)处连续指的是：当(x,y)沿着任意路径趋向于(x0,y0)时，f(x,y)的极限都是f(x0,y0)。
A选项只是找到了两条路径：x轴与y轴。

Answer 2

我举个反例：设f(x,y)是个分段函数

当x^2+y^2=0时，f(x,y)=0
当x^2+y^2≠0时，f(x,y)=xy/(x^2+y^2)
显然，lim(x->0)f(x,0)=lim(x->0) 0/(x^2+0)=0=f(0,0)
且lim(y->0)f(0,y)=lim(y->0) 0/(0+y^2)=0=f(0,0)
所以f(x,y)分别关于变量x和y在(0,0)点连续

但是，当我们令y=kx (k≠0)，
lim(x->0,y->0) f(x,y)=lim(x->0) f(x,kx)
=lim(x->0) kx^2/(x^2+k^2x^2)
=lim(x->0) k/(1+k^2)
因为极限值与k的取值有关
所以f(x,y)在(0,0)点极限不存在

Answer 3

举个反例就行：f(x,y)=2xy/(x^2+y^2) (x,y)不等于（0，0）
f(x,y)=0 （x,y）=（0，0）
你可以验证对于单独的自变量都是连续的在(0,0)点
但是整个二元函数不是连续的（用y=kx,极限与k有关）