Question

如图,在三角形ABC中,ab=ac=5,cosB=4/5,点d是边bc上一点,以点d为顶点作∠EDF=∠B，点E、F分别在边AB、AC上

且DE⊥BC，联接EF。
（1）求BC的长；
（2）设BD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）当△DEF和△DCF相似时，求BD的长

Answer 1

(1)作AM⊥BC于M,
AB=AC=5，cosB=4/5,
∴BM=MC=4，BC=8.
(2)BD=x,DE⊥BC,
∴BE=BD/cosB=5x/4,
∠EDF=∠B=∠C,
∴∠CDF=∠BED,
∴△CDF∽△BED,
∴CF/BD=CD/BE,
∴CF=BD*CD/BE=x(8-x)/(5x/4)=4(8-x)/5,
∴y=AC-CF=5-4(8-x)/5=(4x-7)/5,7/4<x<=4.
（3）DE=3x/4,DF=3DC/5=3(8-x)/5，当△DEF和△DCF相似时,
DE/DF=CD/CF或CF/CD,
即5x/[4(8-x)]=5/4或4/5，
∴x=8-x,x1=4,或25x=16(8-x),41x=128,x2=128/41.
∴BD=4或128/41.