Question

求下面3题极限的计算过程（详细过程，谢谢）

Answer 1

1、
分子分母同时除以x，
原极限
=lim(x->0) (1-sinx/x)(1+sinx/x)
显然x 趋于0时，sinx /x趋于1，
故分子1-sinx/x趋于0，
所以原极限值为0

2、
使用对数不等式，
原极限
=lim(x->0) (1+2x)^(1/x)
=lim(x->0) [e^ln(1+2x)]^(1/x)
=lim(x->0) e^ [ln(1+2x)*(1/x)]
而x 趋于0时，ln(1+x)等价于x，
所以这里ln(1+2x)等价于2x
故原极限
=lim(x->0) e^ [ln(1+2x)*(1/x)]
=lim(x->0) e^ (2x* 1/x)
=e^2

3、
原极限
=lim(x->无穷大) (1-1/x²)^(3x²/x)
=lim(x->无穷大) (1-1/x²)^[(-x²)* (-3/x)]
显然由重要极限可以知道，
x趋于无穷大时，(1-1/x²)^(-x²) 趋于e，
而此时-3/x 趋于0，
所以得到
原极限
=lim(x->无穷大) (1-1/x²)^[(-x²)* (-3/x)]
=e^0
= 1
故极限值为1