Question

如何证明函数f（x）为无界函数

如何证明f（x）=xsinx在（0，+oo）上为无界函数？

Answer 1

反证法：

假设A=a*sina是函数的上界，即对(0,+无穷)上所有实数，均有F(x)=xsinx<=A，此时sina必大于0。

但当x=a+2π时，有F(a+2π)=（a+2π）*sin（a+2π）=（a+2π）*sina 

因为a+2π>a，sina>0，所以F(a+2π)=（a+2π）

*sina>a*sina=A 

因此相矛盾了。

所以函数f（x）为无界函数。

扩展资料：

有界函数的图形必介于两条平行于x轴的直线y=-M和y=M之间（当自变量为x时），笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指明所考虑的区间。

例如，函数  在  内是有界的，因为对任意  ，存在M=1，使得  恒成立。

函数  在开区间 上是无界的。

函数  在开区间(0，1)内是无界的，而函数  在区间[1，2]内是有界的。

函数  是有界函数，因为在其定义域  内恒有  。

Answer 2

反证法 假设A=a*sina是函数的上界，即对(0,+无穷)上所有实数，均有F(x)=xsinx<=A,此时sina必大于0 但当x=a+2π时，有F(a+2π)=（a+2π）*sin（a+2π）=（a+2π）*sina 因为a+2π>a,sina>0 所以F(a+2π)=（a+2π）*sina>a*sina=A 因此相矛盾了

Answer 3

对于任意M>0,证明都能找到x,使|f(x)|>M.证明关键在于找x,x可以与M有关.

无界函数与无穷大量两个概念之间有严格的区别：
无界函数的概念是指某个区间上的。若对于任意的正数m，总存在某个点，使得|f(x)|>m，则称该函数是区间上的无界函数。
无穷大量是指在自变量的某个趋限过程(例)下因变量的变化趋势。若自变量x无限接近x0（或|x|无限增大）时，函数值|f(x)|无限增大，则称f(x)为x→x0(或x→无穷)时的无穷大量。例如f(x)=1/(x-1)2是当x→1时的无穷大量，f(n)=n2是当n→∞时的无穷大量。
无穷大量必是无界量，无界量未必是无穷大量。

Answer 4

证明:设任意M>1(无论它多大)
取X=2[M]兀十兀/2
则f(X)=2[M]兀十兀/2明显大于M，
则f(X)=xsinx在(O,+∞)上无

Answer 5