Question

已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数,设g(x)=log4(a*2^x-4a/3)

若函数y=f(x)-g(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围

Answer 1

1. 先求K，根据f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数，得到f(x)＝f(－x)
即 log4(4^x+1)+kx＝log4[1/(4^x)+1]－kx 可得出k＝－1/2
2. 求实数a的取值范围
y=f(x)－g(x)有且只有一个零点，则log4(4^x+1)+kx＝log4(a*2^x-4a/3)
先由g(x)定义域有a*(2^x-4/3)>0，当x＞log2(4/3)时，a＞0
当x＜log2(4/3)时，a＜0
3. 下面验证是否只有一个解并求出该解：
为了使 f(x)＝g(x) ==> 为书写简化先设2^x=t
即 (a-1)t^2－4a/3t－1＝0
为了使 t＝2^x 有且只有一个解,必须△=b^2－4ac=0 此时f(x)=g(x) 的唯一解为 t=2^x=－b/(2a)
即 当16/9a^2+4(a-1)=0 时 f(x)=g(x) 有唯一解
得到a1=－3 对应的唯一解为 t=2^x={4a/3} / {2(a-1)}=1/2 也即 x＝ －1
或者a2＝3/4 对应的唯一解为 t=2^x={4a/3} / {2(a-1)}=－2 也即 x＝log2(－2) 应舍去

结论：当且仅当a＝-3时，有且只有一个零点，且该解为x＝ －1