Question

求球面x²＋y²＋z²＝a²含在圆柱面x²＋y²＝ax内部的那部分曲面的面积

Answer 1

以下求上面的那一片（记为∑）的面积A：∑在xoy面的投影域,是圆X^2+Y^2=aX的内部（记为Dxy）,则有公式A=∫∫∑dS=∫∫Dxy√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] dxdy。

其中√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] 中的函数Z为∑的方程之Z=√[a^2 - x^2 - y^2] ,由此求得√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] =a/√[a^2 - x^2 - y^2]。

故A=a∫∫Dxy1/√[a^2 - x^2 - y^2]dxdy,对这个二重积分采用极坐标计算,其积分限确定为0≤θ≤∏,0≤r≤acosθ，因：域Dxy,即圆x^2+y^2=ax的内部的极角范围是0≤θ≤∏。

极半径r的范围是从0到圆x^2+y^2=ax的边界,而圆x^2+y^2=ax的极坐标方程是r=acosθ：是把极坐标与直角坐标的关系式x^2+y^2=r^2以及x=rcosθ代入圆x^2+y^2=ax这个方程中得到的。

于是,A=a∫（0到∏）dθ∫（0到acosθ）r/√[a^2 - r^2]dr=a^2（∏-2）则2A=2a^2（∏-2）就是所求面积。本题也可以只求第一卦限的那片面积,然后4倍之。

解方程的方法 

1、按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解。如2.5×4-x=4.2，要先求出2.5×4的积，使方程变形为10-x=4.2，然后再解。 　

2、利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解。如：2.2x＋7.8x＝20，先利用运算定律或性质使方程变形为（2.2＋7.8）x＝20，然后计算括号里面使方程变形为10x＝20，最后再解。

Answer 2

Answer 3

2a²（π-2）