Question

高中数学：做题时常有说，某点关于直线y=x对称,那对称的点应该是？如果是某函数关于y=x对称，那应

高中数学：做题时常有说，某点关于直线y=x对称,那对称的点应该是？如果是某函数关于y=x对称，那应该是什么样？有什么规律吗？另外，如果不是y=x应该怎样？假设是y=2x+1咩？

Answer 1

点(a,b)关于y=x对称即点(b,a)
函数f(x)关于y=x对称即反函数f^-1(x)，因为函数曲线上的所有点(x,f(x))关于y=x对称即(f(x),x),
设f(x) = z 则 x = f^-1(z), 即 (z,f^-1(z))。
对于更一般的情况，设点(a,b)关于直线y=px+q的对称点是(a',b')。我们是可以通过旋转和平移来得到的。学过线性代数的话就有很多办法一种简单的思路如下：
任意点(x,y)关于直线y=0的对称点是(x,-y)。
把y=0经过旋转和平移得到直线y=px+q, 那么(x,y)和(x,-y)两点经过同样的运算即可得到一对对称点。
那么y=0到y=px+q需要要绕原点旋转t (其中tan(t)=p),再沿x轴的反方向平移-p/q（把原点移到(-p/q,0)）。
我们记旋转运算为O, 平移运算为T.
假设通过先旋转再平移运算，正好把(x,y)移动到(a,b)点，即: TQ(x,y) = (a,b)
那么TQ(x,-y) = (a',b')
于是(x,y)=Q^(-1) T(-1) (a,b) (其中Q^(-1)和T(-1) 是反向旋转和反向平移运算)
在通过线性变换矩阵S =(1, 0; 0, -1)把(x,y)转换为(x,-y)
即S(x,y)=(x,-y) 于是
(x,-y)=S(x,y) = SQ^(-1) T(-1) (a,b)
再由(a',b')=TQ(x,-y) =TQSQ^(-1) T(-1) (a,b)
即得到从(a,b)到(a',b')的转换方式
(a',b') = TQSQ^(-1) T(-1) (a,b)
因此，只需计算T, Q, Q^(-1), T(-1)即可。
Q = (cos(t), -sin(t); sin(t), cos(t))。Q^(-1) = (cos(t), sin(t); -sin(t), cos(t))
于是QSQ^(-1) = (cos(2t), sin(2t); sin(2t), -cos(2t))
根据tan(t)=p, 我们可以计算出cos(2t)=(1-p^2)/(1+p^2), sin(2t)=2p/(1+p^2)
T(x,y) = (x-q/p,y)
T^(-1)(x,y)=(x+q/p,y)
整理得 (a',b') = TQSQ^(-1) T(-1) (a,b) = (((1-p^2)/(1+p^2))(a+q/p) + 2pb/(1+p^2)-q/p, (2pa+2q-b(1-p^2))/(1+p^2))
即:
a‘ = ((1-p^2)/(1+p^2))(a+q/p) + 2pb/(1+p^2)-q/p
b' = (2pa+2q-b(1-p^2))/(1+p^2)

应用：
如y=x
p=1,q=0
a' = b，b'=a
即(a,b)关于y=x的对称点事(b,a)

再如y=0
p=0,q=0
a'=a, b'=-b
即(a,b)关于y=0的对称点事(-b,a)

那么y=2x+1
p=2,q=1
a'=(-3/5)(a+1/2) + 4b/5 - 1/2 = -3a/5 + 4b/5 -4/5
b'=(4a+2-b(-3))/5 = 4a/5 + 3b/5 + 2/5

追问

假如直线是y=2x+1呢？

是不是全都要变啦？

追答

对于更一般的情况，请看我上面的进一步分析。

如果看不懂线性变换，这里还有中学生的解法。
对于直线 y=px+q，他的法向量是(-p,1)
设(a,b)关于y=px+q的对称点是(a',b')，所以向量(a'-a,b'-b)和法向量(-p,1)平行。
即存在k, 使得 (a'-a,b'-b) = k(-p,1)
整理的a'+2b'=a+2b (1)

又因为(a,b)和(a',b')间的中点在直线y=px+q上，即((a+a')/2,(b+b')/2)满足y=px+q
从而得到第二个方程: (b+b')/2 = p(a+a')/2 + q 整理的
b'-pa' = 2a-b+2q (2)
求解线性方程组 (1),(2)
同样可以得到问题的解
a‘ = ((1-p^2)/(1+p^2))(a+q/p) + 2pb/(1+p^2)-q/p
b' = (2pa+2q-b(1-p^2))/(1+p^2)

Answer 2

这是高中对称问题的链接 自己把它搞懂 http://wenku.baidu.com/link?url=H8UIBm21UbRN5MlcVD9UTRgmJT3EFxYNy86LhZFWceoTetFm4fJrnD54S3jfG4eq2cFvZTlltW-bS6dP09cxjX0nnZ35eH6W8Q0Yy9PZQz7

Answer 3

追问

第二个式子我明白了，请问第一个式子是什么意思呢？谢谢你啦

Answer 4

点到线的距离相等