Question

解析几何

已知圆的方程X^2+Y^2=4，若抛物线过点A（-1,0）B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是（ )
A X^2/4-Y^2/3=1 (x不为0） B X^2/4+Y^2/3=1 (x不为0）
CX^2/4-Y^2/3=1 (Y不为0） DX^2/4+Y^2/3=1 (y不为0）

如何思考？

Answer 1

首先，作为选择题，可以考虑特殊值法。当圆的切线为y=2时，
点A（-1,0）和B（1，0）到y=2的距离都为2
所以A（-1,0）和B（1，0）到焦点的距离也都为2
（因为抛物线的几何性质）
所以有焦点应该在分别以A（-1,0）和B（1，0）为圆心，2为半径的圆的交点上。
可得C（0，√3）D（0，-√3）符合题意。
然后再看选项，发现ABC都不对，所以选D。

作为大题，可以这么做：
过A（-1,0）和B（1，0）作圆的切线的垂线，分别垂直与E，F
过圆心O作圆的切线的垂线，垂直与G，所以AE+BF=2OG
设焦点为P，
又因为圆的切线为准线，所以AE=AP，BF=BP。
所以AP+BP=AE+BF=2OG=4为定值，
所以焦点P的轨迹为以A（-1,0）和B（1，0）为焦点，长轴为2的椭圆。
所以焦点P的轨迹为X^2/4+Y^2/3=1。
又因为当y=0时，以点（±2，0）为焦点的抛物线不能过A（-1,0）和B（1，0）。
所以焦点P的轨迹为X^2/4+Y^2/3=1。(y不为0）

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