解析几何

已知圆的方程X^2+Y^2=4,若抛物线过点A(-1,0)B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是()AX^2/4-Y^2/3=1(x不为0)BX^2/... 已知圆的方程X^2+Y^2=4,若抛物线过点A(-1,0)B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( )
A X^2/4-Y^2/3=1 (x不为0) B X^2/4+Y^2/3=1 (x不为0)
CX^2/4-Y^2/3=1 (Y不为0) DX^2/4+Y^2/3=1 (y不为0)

如何思考?
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zhang5y124
2011-02-18 · TA获得超过2208个赞
知道小有建树答主
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首先,作为选择题,可以考虑特殊值法。当圆的切线为y=2时,
点A(-1,0)和B(1,0)到y=2的距离都为2
所以A(-1,0)和B(1,0)到焦点的距离也都为2
(因为抛物线的几何性质)
所以有焦点应该在分别以A(-1,0)和B(1,0)为圆心,2为半径的圆的交点上。
可得C(0,√3)D(0,-√3)符合题意。
然后再看选项,发现ABC都不对,所以选D。

作为大题,可以这么做:
过A(-1,0)和B(1,0)作圆的切线的垂线,分别垂直与E,F
过圆心O作圆的切线的垂线,垂直与G,所以AE+BF=2OG
设焦点为P,
又因为圆的切线为准线,所以AE=AP,BF=BP。
所以AP+BP=AE+BF=2OG=4为定值,
所以焦点P的轨迹为以A(-1,0)和B(1,0)为焦点,长轴为2的椭圆。
所以焦点P的轨迹为X^2/4+Y^2/3=1。
又因为当y=0时,以点(±2,0)为焦点的抛物线不能过A(-1,0)和B(1,0)。
所以焦点P的轨迹为X^2/4+Y^2/3=1。(y不为0)

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