Question

(2014·莱芜)已知二次函数y等于ax平方加bx加c的图像如图所示.下列结论㎡①abc

Answer 1

（2014•莱芜）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示．下列结论：

①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）²＜b²

其中正确的个数有（　　）  

A．1      B．2       C．3       D．4  

考点：二次函数图象与系数的关系．  

专题：数形结合．  

分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣b/2a＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）²﹣b²＜0，即（a+c）²＜b²．  

解答：解：∵抛物线开口向下，  

∴a＜0，  

∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，  

∴x=﹣b/2a＜0， 

∴b＜0，  

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，  

∴c＞0，  

∴abc＞0，所以①正确；  

∵﹣1＜﹣b/2a＜0，  

∴2a﹣b＜0，所以②正确；  

∵当x=﹣2时，y＜0，  

∴4a﹣2b+c＜0，所以③正确；  

∵当x=﹣1时，y＞0，  

∴a﹣b+c＞0，  

∵当x=1时，y＜0，  

∴a+b+c＜0，  

∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，  

∴（a+c）²﹣b²＜0，所以④正确．  

故选D．  

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣b/2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．

 

Answer 2

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