Question

解析几何

一只双曲线C：X^-Y^2/4=1 ，过点P（1,1）作直线L，使L与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有几条？

如何思考？

Answer 1

可以设过点P（1,1）的直线L的方程为y=k（x-1）+1
因为L与C的交点即方程X^-Y^2/4=1与y=k（x-1）+1的共同解，且L与C有且只有一个公共点，
所以X^-Y^2/4=1与y=k（x-1）+1只有一个共同解。
将y=k（x-1）+1代入方程X^-Y^2/4=1，并化简得
（4-k^2）x^2+（2k^2-2k）x-k^2+2k-5=0
因为这个方程只有一个解
所以Δ=（2k^2-2k）^2-4*（4-k^2）*（-k^2+2k-5）=0
化简得8k=20 所以k=5/2.
或者（4-k^2）=0，所以k=±2.
所以满足上述条件的直线共有三条。
分别是y=5/2. *（x-1）+1，y=2（x-1）+1，y=-2（x-1）+1。

Answer 2

如下图所示,这样的直线L有四条,与渐近线平行的两条,切线两条.